By Gerd Fischer (auth.)

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Fractals and Chaos

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Affme Geometrie Übungsau[gabe 1. Man begründe die folgenden Konstruktionsverfahren rur eine Ellipse bei gegebenen Hauptachsen a und b. 29). 29 b) Man markiert auf einem Lineal die Punkte 0, a und a + b. Läßt man 0 auf der y-Achse und a + b auf der x-Achse gleiten, so läuft a auf der Ellipse. 30). 31 fmden kann. Außerhalb der Scheitel liegt die Ellipse zwischen den beiden Scheitelkreisen, zum Scheitel hin wird sie durch den entsprechenden Scheitelkreis gut approximiert. Näheres über Krümmungskreise lernt man in der Differentialgeometrie.

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und teilen sich im Verhältnis 2: 1. 22). 26 1. Affine Geometrie In diesem Fall ist sie aber klar, da sich die SeitenhalbierendeIl im Ursprung schneiden. 3. Der Strahlensatz. Seien Po, PI, P2 affin unabhängige Punkte eines affinen Raumes X über K und seien ql E Po V PI, q2 E Po V P2 von Po verschieden. Sind die Geraden PI V P2 und ql V q2 parallel, so ist TV (Po, PI, qd = TV (Po, P2, q2) Beweis. 12, Aufgabe 2). 4), folgt die Behauptung.

Dazu sei ,'=(1) und lIoO aOI , . - . : : 1) mit ajj : =Qjj und aij : =aji : =~ Qij für i < j, wobei Qij die KoeffIzienten des Polynoms P sind. Dann ist A' symmetrisch, und es ist P(XI' ... ,xn) = tx'·A'·x' also Ist so nennt man A' die erweiterte Matrix A und x' den erweiterten Spaltenvektor x. Diese merkwürdige Schreibweise dient zunächst nur zur Vereinfachung der Notationen. Ihr Hintergrund wird erst in der projektiven Geometrie klar. Wir überlegen nun, wie sich die Gleichung einer Quadrik beim übergang zu neuen Koordinaten verändert.

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